khai triển nhị thức newton

Nhị thức niu tơn là một trong những đề chính cần thiết vô đề đua lớp 11 gần giống THPTQG. Bài viết lách này sẽ hỗ trợ học viên bắt Chắn chắn lý thuyết và dạng bài xích tập dượt về: lần thông số vô khai triển, lần số hạng vô khai triển, tính tổng, rút gọn gàng biểu, minh chứng biểu thức, giải phương trình, bất phương trình chỉnh ăn ý tổng hợp trải qua những ví dụ.

1. Lý thuyết nhị thức niu tơn

1.1. Định lý khai triển nhị thức niu tơn

Trong công tác toán giải tích lớp 11 vẫn học tập, khai triển nhị thức niu tơn(ngắn gọn gàng là quyết định lý nhị thức) là một trong những quyết định lý toán học tập về sự khai triển hàm nón của tổng. Định lý khai triển một nhị thức bậc n trở nên một nhiều thức sở hữu n+1 số hạng:

Bạn đang xem: khai triển nhị thức newton

\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}

\left ( C_{k}^{n} \right ) là số tổng hợp chập k của n thành phần (0\leqslant k\leqslant n). Ta sở hữu quyết định lý, số những tổng hợp chập k của n thành phần vẫn mang lại như sau: 

\left ( C_{k}^{n} \right )=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)...(n-k+1)}{k!}

1.2. Công thức nhị thức niu tơn

1.2.1. Định lý

Với \forall n\epsilon N^{*} với cặp số (a,b) tớ có:  

Định lý nhị thức niu tơn lớp 11

1.2.2. Hệ quả 

\left (1+x\right)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+x^{n}C_{n}^{x}

Đăng ký tức thì và để được những thầy cô ôn tập dượt và thi công quãng thời gian ôn đua trung học phổ thông môn Toán vững vàng vàng

2. Các dạng toán nhị thức niu tơn

2.1. Cách lần thông số vô khai triển và lần số hạng vô khai triển

Với dạng toán này, những em hãy dùng số hạng tổng quát tháo (số hạng loại k+1) của khai triển. Tiếp theo đòi biến hóa nhằm tách riêng biệt phần trở nên và phần thông số, tiếp sau đó phối hợp đề bài xích nhằm xác lập chỉ số k. Lưu ý số hạng bao gồm thông số + phần trở nên.

2.1.1. Ví dụ nhị thức niu tơn với cơ hội lần thông số vô khai triển

VD1: Hệ số của x^{31} vô khai triển \left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40} là bao nhiêu?

Lời giải:

\left ( x+\frac{1}{x^{2}} \right )^{40}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{k}\left ( \frac{1}{x^{2}} \right )^{40-k}=\sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}

Hệ số của x31C_{40}^{k} với k thỏa mãn nhu cầu ĐK 3k - 80 = 31 ⇔ k=37

Vậy thông số của x^{31} là C_{40}^{37} = 9880

VD2: Hệ số của x3 vô khai triển nhị thức niu tơn \left ( x^{2}+\frac{2}{x} \right )^{12} là bao nhiêu? 

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

(x^{2} + \frac{2}{x})^{12} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}(x^{2})^{12 - k}.(\frac{2}{x})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}C_{12}^{k}.2^{k}.x^{24-3k}

Ta có: 24 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 7

Vậy thông số x3 trong khai triển là a3 = C_{12}^{7}.2^{7} = 101376 

2.1.2. Ví dụ về kiểu cách lần số hạng vô khai triển 

VD1: Tìm số hạng không tồn tại x vô khai triển của nhị thức sau: \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12}$ ; $x\neq 0

Lời giải:

Số hạng tổng quát tháo vô khai triển \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{12} là C_{12}^{k}x^{12-k}\frac{1}{x}^{k}=C_{12}^{k}x^{12-2k}

Số hạng không tồn tại x ứng với k thỏa mãn nhu cầu 12 - 2k = 0 ⇔ k=6 

=> số hạng ko chứa chấp x là C_{12}^{6}=924

VD2: Số hạng ko chứa chấp x vô khai triển: \left ( x-\frac{2}{\sqrt{x}} \right )^{n} biết A_{2}^{n}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6

Lời giải:

A_{2}^{n} = C_{n}^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} + 4n + 6 \Leftrightarrow n(n - 1) = \frac{n(n-1)}{2!} + n + 4n + 6 \Leftrightarrow n = 12

Theo khai triển nhị thức Newton thì

(x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k}.(\frac{2}{\sqrt{x}})^{k} = \sum_{k = 0}^{12}(-1)^{k}2^{k}C_{12}^{k}.x^{12 - k - \frac{k}{2}}

Ta xét phương trình:

12 - k - \frac{k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 8

Vậy tớ rất có thể Tóm lại số hạng ko chứa chấp x vô khai triển (x - \frac{2}{\sqrt{x}})^{n} là:

a_{0} = (-1)^{8}.2^{8}C_{12}^{8} = 126720

VD3: Tìm số hạng chứa chấp x^{\frac{10}{3}} vô khai triển của nhị thức niu tơn của \left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10}

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

(x\sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{2}})^{10} = \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x\sqrt[3]{x})^{10-k}.(\frac{2}{x^{2}})^{k}

= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}C_{10}^{k}(x^{\frac{4}{3}})^{10-k}.\frac{2^{k}}{x^{2k}}

= \sum_{k = 0}^{10}(-1)^{k}.2^{k}.C_{10}^{k}.x^{\frac{4}{3}(10-k) - 2k}

Ta xét phương trình \frac{4}{3}(10-k) - 2k = \frac{10}{3} \Leftrightarrow k = 3

Vậy số hạng chứa x^{\frac{10}{3}} trong khai triển của nhị thức Newton của \left ( x\sqrt[3]{x}-\frac{2}{x^{2}} \right )^{10} là:

a_{\frac{10}{3}} = (-1)^{3}.2^{3}.C_{1}^{3}0x^{\frac{10}{3}} = -960x^{\frac{10}{3}}

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng quãng thời gian học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo đòi sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học tới trường lại cho tới lúc nào hiểu bài xích thì thôi

⭐ Rèn tips tricks gom bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test free ngay!!

2.2. Rút gọn gàng đẳng thức, minh chứng biểu thức

Phương pháp: 

  • Nhận xét câu hỏi kể từ cơ lựa chọn hàm số phù phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thông thường tớ hoặc dùng những hàm cơ phiên bản \left ( x+1 \right )^{n},\left ( 1+x \right )^{n},\left ( 1-x \right )^{n},\left ( x-1 \right )^{n}.

  •  Khai triển nhị thức vừa phải tìm kiếm ra và dùng những phép tắc biến hóa đại số, giải tích để sở hữu được dạng phù phù hợp với đề bài xích. 

  • Chọn độ quý hiếm của x mang lại tương thích để sở hữu được biểu thức như nhằm bài xích Thông thưởng tớ lựa chọn x là những số 1 hoặc -1 (cũng rất có thể \pm 2,\pm 3...). 

Vậy tớ đạt được tổng hoặc mệnh đề rất cần được minh chứng.

2.2.1. Ví dụ về rút gọn gàng đẳng thức

VD1: Tính tổng: S=C_{3030}^{0}-2C_{3030}^{1}+2^{2}C_{3030}^{2}-2^{3}C_{3030}^{3}+...+3^{3030}C_{3030}^{3030}

Lời giải: 

Theo công thức nhị thức Niu tơn lớp 11 với a = 1, b= -2 tớ được:

\left(1-2\right)^{3030}=C_{3030}^{0}1^{3030}-2C_{3030}^{1}1^{3029}+2^{2}C_{3030}^{2}1^{3028}-...+3^{3030}C_{3030}^{3030}

Xem thêm: giải pháp chủ yếu để sử dụng hợp lí tự nhiên ở đồng bằng sông cửu long là

VD2: Rút gọn gàng biểu thức sau:

A= 2.1C_{n}^{2}-3.2C_{n}^{3}+...+n(n-1)(-1)C_{n}^{n}

Lời giải:

a) Ta có:

(1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1}x + C_{n}^{2}x^{2} - C_{n}^{3}x^{3} +...+ (-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n} (1)

Ta lấy đạo hàm bậc nhị theo đòi x cả nhị vế của phương trình (1) tớ được:

-n(1 - x)^{n - 1} = -C_{1}^{n} + 2C_{n}^{2}x - 3C_{n}^{3}x^{2} + ...+ n(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 1}

n(n - 1)(1 - x)^{n - 2} = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}x + ...+ n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n}x^{n - 2} (2)

Thay x = 1 vô phương trình (2) tớ được:

0 = 2.1.C_{n}^{2} - 3.2C_{n}^{3}+...+n(n - 1)(-1)^{n}C_{n}^{n} \Leftrightarrow A = 0

2.2.2. Ví dụ minh chứng biểu thức

VD1: Chứng minh rằng: C_{2001}^{0}+3^{2}C_{2001}^{2}+...+3^{2000}C_{2001}^{2000}=2^{2000}(2^{2001}-1)

Lời giải:

\left ( 1+x \right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+...+C_{n}^{n}x^{n}

Cho n = 2001 và x = 3 tớ được:

4^{2021}=C_{2021}^{0}+3C_{2021}^{1}+...+3^{2021}C_{2021}^{2021}          (1)

Cho n = 2001 và x = -3 tớ được:

-2^{2021}=C_{2021}^{0}-3C_{2021}^{1}+...-3^{2021}C_{2021}^{2021}       (2)

 (1) + (2) vế theo đòi vế tớ được:

\frac{1}{2}\left ( 4^{2021}-2^{2021}\right )=2^{2000}\left ( 2^{2021}-1 \right )=C_{2021}^{0}+3^{2}C_{2021}^{2}+...+3^{2000}C_{2021}^{2000}

Điều nên triệu chứng minh

VD2: Chứng minh rằng:

C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+...=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+...=2^{n-1}

Lời giải:

Ta có: (1 + x)^{n} = C_{n}^{0}.x^{0} + C_{n}^{1}.x + C_{n}^{2}.x^{2} +...+ C_{n}^{n}.x^{n}

\rightarrow (1 + 1)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} +...+ C_{n}^{n} (1)

và (1 - x)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}.C_{n}^{n}.x^{n}

\rightarrow (1 - 1)^{n} = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} -...+ (-1)^{n}C_{n}^{n} (2)

Ta lấy phương trình (1) + (2) tớ được:

2^{n} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)

\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+...)

Lấy (1) - (2) tớ được

2^{n} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)

\rightarrow 2^{n - 1} = 2(C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+...)

Vậy C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4}+... = C_{n}^{1} + C_{n}^{3} + C_{n}^{5}+... = 2^{n-1}

2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh ăn ý tổ hợp

Đối với dạng bài xích này, các em dùng những công thức tính số hoạn, tổng hợp chỉnh ăn ý nhằm biến hóa phương trình tiếp sau đó đánh giá ĐK của nghiệm và Tóm lại.

VD1: Tìm n biết C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15

Lời giải: 

Điều khiếu nại n\geqslant 2

Giả thiết tương tự với:

n+\frac{n(n-1)}{2}=15\Leftrightarrow n^{2}+n-30=0\Leftrightarrow n=5 hoặc n=-6 (loại)

VD2: Cho khai triển \left ( 1+2x \right )^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}. Tìm số nguyên vẹn dương n biết a_{0}+8a_{1}=2a_{2}=1.

Lời giải: 

Áp dụng công thức khai triển niu tơn tớ có:

(1 + 2x)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}(2x)^{k} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}.2^{k}.x^{k}

Từ cơ, tớ sở hữu thông số của xk là a_{k} = 2^{k}C_{n}^{k}

Theo fake thiết vẫn mang lại của đề bài xích tớ có:

C_{n}^{0} + 8.2.C_{n}^{1} = 2.2^{2}.C_{n}^{2} + 1 \Leftrightarrow 1 + 16n = 8.\frac{n(n - 1)}{2} + 1 \Leftrightarrow 4n^{2} - 20n = 0

\Leftrightarrow n = 5

VD3: Tìm số ngẫu nhiên n thỏa mãn: C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+...+C_{2n}^{2n}=2^{2015}

Lời giải:

Đặt:

A = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{2} + C_{2n}^{4} +...+ C_{2n}^{2n}

B = C_{2n}^{1} + C_{2n}^{3} + C_{2n}^{5} +...+ C_{2n}^{2n - 1}

Từ cơ tớ suy đi ra được:

\left\{\begin{matrix} A + B = C_{2n}^{0} + C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} +...+ C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n} = (1 + 1)^{2n} = 2^{2n}\\A - B = C_{2n}^{0} - C_{2n}^{1} + C_{2n}^{2} -...- C_{2n}^{2n - 1}+ C_{2n}^{2n} = (1 - 1)^{2n} = 0 \end{matrix}\right.

\Rightarrow A = \frac{2^{2n}}{2} = 2^{2015} \Leftrightarrow 2n = năm 2016 \Leftrightarrow n = 1008

Nhận tức thì bí mật đầy đủ cỗ cách thức giải từng dạng bài xích vô đề đua Toán trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Trên đấy là toàn cỗ lý thuyết và những dạng bài xích tập dượt của hệ thức nhị thức niu tơn vô công tác Toán 11. Để đạt được thành phẩm cao các  em nên thực hiện thêm thắt nhiều dạng khác nhau bài xích không giống nữa. Hy vọng với nội dung bài viết này, những em học viên rất có thể giải những bài xích tập dượt kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên thật thành thục. Để học tập và ôn tập dượt nhiều hơn thế nữa những phần kỹ năng lớp 12 đáp ứng ôn đua trung học phổ thông Quốc gia môn Toán, những em truy vấn Vuihoc.vn và ĐK khóa đào tạo và huấn luyện tức thì kể từ thời điểm hôm nay nhé!

Bài viết lách tìm hiểu thêm thêm:

Xem thêm: hóa 10

Hoán vị, tổng hợp và chỉnh hợp

Quy tắc đếm

Phép test và trở nên cố